1、利用连通性可以判断R与平面不同胚；（对同胚的拓扑空间做相应的处理后的拓扑空间也是同胚的？）（是否能对连通性做进一步的分类？） 2、一维球面与二维球面的不同胚； 3、同伦与同伦型（考虑同伦与同胚的关系？） 4、伦移--随时间变化的一族映射；
基础知识：点集拓扑、抽象代数参考书籍：代数拓扑讲义 周建伟同调论 姜伯驹Topology J.MunkresAlgebraic topology A.Hatcher 连通性：空间不能分成两个不相交的开集.道路连通：任何两点之间都能用一个道路连通.道路连通一定是连通的，反之不成立. 同胚,拓扑性质
两个拓扑空间如果可以通过一系列连续的形变从一个变到另一个，那么就称这两个拓扑空间同伦。 定义： 设X和Y都是拓扑空间，f和g是X到Y的连续映射。如果存在连续映射H：X×Ｉ→Y，使得对任何x∈X，H(x,0)=f(x)，H(x,1)=g(x)，则称f与g同伦，并称H是连接f和g的一个同伦。这里Ｉ=[0,1]。
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